Σε αυτή την υποενότητα θα κατανοήσεις γιατί τα Μαθηματικά και η Στατιστική είναι χρήσιμα στην καθημερινή ζωή, πώς μας βοηθούν να παίρνουμε καλύτερες αποφάσεις και πού τα συναντάμε χωρίς καν να το αντιλαμβανόμαστε.
Τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη των αριθμών, των σχημάτων και των σχέσεων μεταξύ τους. Μας δίνουν εργαλεία για να λύνουμε προβλήματα με ακρίβεια και λογική.
Η Στατιστική είναι ο κλάδος που ασχολείται με τη συλλογή, την οργάνωση και την ανάλυση δεδομένων (πληροφοριών). Μας βοηθά να κατανοούμε τάσεις, να κάνουμε προβλέψεις και να παίρνουμε αποφάσεις με βάση γεγονότα.
Πού τα συναντάμε στην καθημερινότητα:
Η γνώση αυτών των εργαλείων σε κάνει πιο ενημερωμένο πολίτη και πιο αποτελεσματικό στην επίλυση προβλημάτων.
Διαβάζεις στις ειδήσεις: «Η ανεργία μειώθηκε από 12% σε 10% τον τελευταίο χρόνο.»
Με βασική στατιστική γνώση καταλαβαίνεις:
Θέλεις να αγοράσεις τηλεόραση. Δύο καταστήματα έχουν προσφορές:
Με απλά Μαθηματικά υπολογίζεις:
Η καλύτερη προσφορά είναι το Κατάστημα Α.
Θα μάθεις τι είναι τα δεδομένα, πώς διακρίνονται σε κατηγορίες και πώς συλλέγονται σωστά για να είναι χρήσιμα στην ανάλυση.
Δεδομένα είναι οι πληροφορίες που συλλέγουμε για να απαντήσουμε ερωτήματα ή να λύσουμε προβλήματα. Μπορεί να είναι αριθμοί, λέξεις, ημερομηνίες ή οτιδήποτε άλλο.
Μεταβλητή είναι ένα χαρακτηριστικό που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές. Για παράδειγμα, το ύψος των ανθρώπων είναι μεταβλητή γιατί διαφέρει από άτομο σε άτομο.
1. Ποιοτικά (Κατηγορικά) δεδομένα
Περιγράφουν ποιότητες ή κατηγορίες. Δεν μπορούν να προστεθούν ή να πολλαπλασιαστούν.
2. Ποσοτικά (Αριθμητικά) δεδομένα
Εκφράζονται με αριθμούς και μπορούν να υπολογιστούν.
Μια εταιρεία συλλέγει τα παρακάτω στοιχεία από τους υπαλλήλους της:
| Μεταβλητή | Τιμή παραδείγματος | Τύπος δεδομένων |
|---|---|---|
| Όνομα | Μαρία Παπαδοπούλου | Ποιοτικό (ονομαστικό) |
| Ηλικία | 34 χρόνια | Ποσοτικό (διακριτό) |
| Τμήμα | Πωλήσεις | Ποιοτικό (ονομαστικό) |
| Μισθός | 1.850€ | Ποσοτικό (συνεχές) |
| Επίπεδο ικανοποίησης | Υψηλό | Ποιοτικό (διατακτικό) |
Θέλεις να μάθεις πόσο χρόνο αφιερώνουν οι φίλοι σου στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης.
Σχεδιάζεις ένα απλό ερωτηματολόγιο:
Θα μάθεις πώς να οργανώνεις τα δεδομένα σου σε πίνακες και πώς να τα οπτικοποιείς με διαγράμματα, ώστε να γίνονται πιο κατανοητά.
Τα πίνακες και τα διαγράμματα είναι εργαλεία που μετατρέπουν μεγάλες ποσότητες δεδομένων σε πληροφορίες που μπορείς να κατανοήσεις με μια ματιά.
Ένας πίνακας συχνοτήτων δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται κάθε τιμή ή κατηγορία.
Στοιχεία πίνακα:
1. Ραβδόγραμμα (Bar Chart)
2. Ιστόγραμμα (Histogram)
3. Κυκλικό διάγραμμα (Pie Chart)
4. Διάγραμμα γραμμής (Line Chart)
Ρωτάς 20 άτομα ποιο μέσο μεταφοράς χρησιμοποιούν για να πάνε στη δουλειά. Οι απαντήσεις:
Αυτοκίνητο, Λεωφορείο, Μετρό, Αυτοκίνητο, Μετρό, Λεωφορείο, Αυτοκίνητο, Μετρό, Λεωφορείο, Αυτοκίνητο, Μετρό, Μετρό, Αυτοκίνητο, Λεωφορείο, Μετρό, Αυτοκίνητο, Αυτοκίνητο, Λεωφορείο, Μετρό, Αυτοκίνητο.
Πίνακας συχνοτήτων:
| Μέσο μεταφοράς | Συχνότητα (f) | Σχετική συχνότητα | Ποσοστό |
|---|---|---|---|
| Αυτοκίνητο | 8 | 8/20 = 0,40 | 40% |
| Λεωφορείο | 5 | 5/20 = 0,25 | 25% |
| Μετρό | 7 | 7/20 = 0,35 | 35% |
| Σύνολο | 20 | 1,00 | 100% |
Θα γνωρίσεις βασικά μαθηματικά μεγέθη (μέσος όρος, διάμεσος, κλπ.) που σε βοηθούν να περιγράψεις και να καταλάβεις τα δεδομένα σου.
Για να αναλύσουμε δεδομένα χρησιμοποιούμε μέτρα θέσης (που δείχνουν «πού κεντράρεται» το σύνολο) και μέτρα διασποράς (που δείχνουν πόσο διαφέρουν οι τιμές μεταξύ τους).
1. Μέσος όρος (Mean)
Το άθροισμα όλων των τιμών διαιρεμένο με το πλήθος τους.
Τύπος:
Μέσος όρος = (Άθροισμα τιμών) / (Πλήθος τιμών)
Πότε τον χρησιμοποιούμε: Όταν τα δεδομένα δεν έχουν ακραίες τιμές (outliers).
2. Διάμεσος (Median)
Η μεσαία τιμή όταν τα δεδομένα είναι ταξινομημένα.
Πώς τον βρίσκουμε:
Πότε τον χρησιμοποιούμε: Όταν υπάρχουν ακραίες τιμές που παραμορφώνουν τον μέσο όρο.
3. Επικρατούσα τιμή (Mode)
Η τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά.
Πότε την χρησιμοποιούμε: Κυρίως σε ποιοτικά δεδομένα ή όταν θέλουμε να βρούμε την πιο συνηθισμένη κατηγορία.
1. Εύρος (Range)
Η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής.
Τύπος:
Εύρος = Μέγιστη τιμή - Ελάχιστη τιμή
2. Τυπική απόκλιση (Standard Deviation)
Μέτρο που δείχνει πόσο απομακρύνονται οι τιμές από τον μέσο όρο. Όσο μεγαλύτερη, τόσο πιο διασκορπισμένα τα δεδομένα.
(Ο υπολογισμός της είναι πιο σύνθετος και θα τον δούμε σε επόμενα κεφάλαια.)
Έξι άτομα απάντησαν πόσα βιβλία διάβασαν τον τελευταίο μήνα: 2, 3, 3, 5, 7, 10.
Μέσος όρος:
(2 + 3 + 3 + 5 + 7 + 10) / 6 = 30 / 6 = 5 βιβλία
Διάμεσος:
Τα δεδομένα είναι ήδη ταξινομημένα: 2, 3, 3, 5, 7, 10.
Έχουμε 6 τιμές (άρτιο πλήθος), οπότε παίρνουμε τις δύο μεσαίες (3 και 5):
Διάμεσος = (3 + 5) / 2 = 4 βιβλία
Ερμηνεία: Κατά μέσο όρο διαβάστηκαν 5 βιβλία, αλλά η μισή ομάδα διάβασε λιγότερα από 4 βιβλία.
Πέντε φίλοι μοιράζονται τα μηνιαία εισοδήματά τους (σε ευρώ): 1.200, 1.300, 1.400, 1.500, 8.000.
Μέσος όρος:
(1.200 + 1.300 + 1.400 + 1.500 + 8.000) / 5 = 13.400 / 5 = 2.680€
Διάμεσος:
Ταξινόμηση: 1.200, 1.300, 1.400, 1.500, 8.000.
Μεσαία τιμή (περιττό πλήθος): 1.400€
Ερμηνεία: Ο μέσος όρος (2.680€) επηρεάστηκε από την ακραία τιμή (8.000€). Η διάμεσος (1.400€) αντιπροσωπεύει καλύτερα την «τυπική» περίπτωση.
Ποιος από τους παρακάτω είναι ποσοτικός τύπος δεδομένων?
α) Το χρώμα ενός αυτοκινήτου
β) Το βάρος ενός ατόμου
γ) Το επάγγελμα κάποιου
δ) Η αγαπημένη σου ομάδα
Σε μια έρευνα ρωτήθηκαν 15 άτομα πόσα παιδιά έχουν. Οι απαντήσεις ήταν:
0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 4, 2.
Δημιούργησε πίνακα συχνοτήτων με στήλες: Αριθμός παιδιών, Συχνότητα, Σχετική συχνότητα (δεκαδικό), Ποσοστό.
Από τα δεδομένα της Άσκησης 2, ποια είναι η επικρατούσα τιμή;
Πέντε φοιτητές έλαβαν τους εξής βαθμούς σε μια εξέταση: 6, 7, 8, 8, 9.
Υπολόγισε τον μέσο όρο.
Από τα δεδομένα της Άσκησης 4, βρες τη διάμεσο.
Ποιο διάγραμμα θα ήταν πιο κατάλληλο για να παρουσιάσεις την εξέλιξη των πωλήσεων μιας εταιρείας ανά τρίμηνο για τα τελευταία 2 χρόνια?
α) Κυκλικό διάγραμμα
β) Ραβδόγραμμα
γ) Διάγραμμα γραμμής
δ) Ιστόγραμμα
Έξι άτομα ζυγίστηκαν και τα αποτελέσματα (σε κιλά) ήταν: 65, 70, 72, 75, 78, 150.
α) Υπολόγισε τον μέσο όρο.
β) Υπολόγισε τη διάμεσο.
γ) Ποιο μέγεθος περιγράφει καλύτερα το «τυπικό» βάρος και γιατί;
Μια έρευνα κατέγραψε τον αριθμό ωρών που 8 άτομα βλέπουν τηλεόραση την εβδομάδα: 5, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25.
Υπολόγισε το εύρος των δεδομένων.
Ποια από τις παρακάτω μεταβλητές είναι διατακτική?
α) Το μέγεθος μπλουζών (S, M, L, XL)
β) Το χρώμα μαλλιών (ξανθά, μαύρα, καστανά)
γ) Το είδος μουσικής που ακούς (ροκ, τζαζ, ποπ)
δ) Η πόλη κατοικίας (Αθήνα, Θεσσαλονίκη, Πάτρα)
Δέκα άτομα αξιολόγησαν ένα εστιατόριο με βαθμό από 1 έως 5 αστέρια:
3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 5, 4.
α) Ποια είναι η επικρατούσα τιμή;
β) Ποιος είναι ο μέσος όρος;
γ) Ποια είναι η διάμεσος;
Σε μια έρευνα ρωτήθηκαν 50 άτομα ποιο μέσο μεταφοράς προτιμούν. Τα αποτελέσματα:
Ποιο ποσοστό προτιμά το λεωφορείο;
Μια εταιρεία παρουσιάζει τα ετήσια κέρδη της με διάγραμμα στο οποίο ο άξονας των τιμών ξεκινά από 1.000.000€ και όχι από 0€. Γιατί αυτό μπορεί να είναι παραπλανητικό;
Απάντηση: β) Το βάρος ενός ατόμου
Αιτιολόγηση: Το βάρος είναι ποσοτική μεταβλητή (συνεχής), ενώ οι άλλες επιλογές είναι ποιοτικές κατηγορικές μεταβλητές.
Απάντηση:
| Αριθμός παιδιών | Συχνότητα | Σχετική συχνότητα | Ποσοστό |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 2/15 ≈ 0,133 | 13,3% |
| 1 | 3 | 3/15 = 0,200 | 20,0% |
| 2 | 6 | 6/15 = 0,400 | 40,0% |
| 3 | 3 | 3/15 = 0,200 | 20,0% |
| 4 | 1 | 1/15 ≈ 0,067 | 6,7% |
| Σύνολο | 15 | 1,000 | 100,0% |
Αιτιολόγηση: Μετράμε πόσες φορές εμφανίζεται κάθε αριθμός παιδιών και υπολογίζουμε τις σχετικές συχνότητες διαιρώντας με το 15.
Απάντηση: 2 παιδιά
Αιτιολόγηση: Η τιμή 2 εμφανίζεται 6 φορές, περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη τιμή.
Απάντηση: Μέσος όρος = (6 + 7 + 8 + 8 + 9) / 5 = 38 / 5 = 7,6
Αιτιολόγηση: Προσθέτουμε όλους τους βαθμούς και διαιρούμε με το πλήθος των φοιτητών.
Απάντηση: Διάμεσος = 8
Αιτιολόγηση: Τα δεδομένα είναι: 6, 7, 8, 8, 9. Η μεσαία τιμή (3η από 5) είναι το 8.
Απάντηση: γ) Διάγραμμα γραμμής
Αιτιολόγηση: Το διάγραμμα γραμμής είναι ιδανικό για να δείξουμε την εξέλιξη μιας μεταβλητής στον χρόνο.
Απάντηση:
α) Μέσος όρος = (65 + 70 + 72 + 75 + 78 + 150) / 6 = 510 / 6 = 85 κιλά
β) Διάμεσος: Ταξινομημένα δεδομένα: 65, 70, 72, 75, 78, 150. Μεσαίες τιμές (3η και 4η): 72 και 75. Διάμεσος = (72 + 75) / 2 = 73,5 κιλά
γ) Η διάμεσος (73,5 κιλά) περιγράφει καλύτερα το τυπικό βάρος γιατί ο μέσος όρος επηρεάστηκε από την ακραία τιμή (150 κιλά).
Απάντηση: Εύρος = 25 - 5 = 20 ώρες
Αιτιολόγηση: Αφαιρούμε την ελάχιστη τιμή από τη μέγιστη.
Απάντηση: α) Το μέγεθος μπλουζών (S, M, L, XL)
Αιτιολόγηση: Τα μεγέθη έχουν φυσική σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, άρα είναι διατακτική μεταβλητή.
Απάντηση:
α) Επικρατούσα τιμή = 4 αστέρια (εμφανίζεται 5 φορές)
β) Μέσος όρος = (3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 5 + 4 + 4 + 5 + 4) / 10 = 41 / 10 = 4,1 αστέρια
γ) Διάμεσος: Ταξινομημένα: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Μεσαίες τιμές (5η και 6η): 4 και 4. Διάμεσος = (4 + 4) / 2 = 4 αστέρια
Απάντηση: (15 / 50) × 100% = 30%
Αιτιολόγηση: Διαιρούμε τον αριθμό που προτιμά το λεωφορείο με το σύνολο και πολλαπλασιάζουμε επί 100.
Απάντηση:
Όταν ο άξονας δεν ξεκινά από το μηδέν, οι διαφορές μεταξύ των ετών φαίνονται οπτικά πολύ μεγαλύτερες από ό,τι είναι στην πραγματικότητα, παραπλάνοντας τον αναγνώστη ότι τα κέρδη αυξήθηκαν δραματικά.
Αιτιολόγηση: Αυτή είναι συνηθισμένη τεχνική χειραγώγησης οπτικής παρουσίασης για να δημιουργηθεί εντύπωση μεγαλύτερης ανάπτυξης.